Константин Богаевский заслуженный деятель искусств РСФСР (1933). Занимался частным образом у А. И. Фесслера и И. К. Айвазовского в Феодосии в 1880-е гг. Учился в ВХУ при АХ у А. И. Куинджи в 1891-1897 гг. Экспонент объединений "Мир искусства", СРХ, ТЮРХ, "Жар-цвет", НОХ в 1900-1910-е гг. Преподавал в художественной студии в Феодосии в 1930-е гг. Писал главным образом пейзажи (маслом, акварелью), изредка - натюрморты. Изображал виды Восточного Крыма, вымышленные "идеальные", "героические" и "романтические", также "исторические" пейзажи, навеянные минисценциями живописи кватроченто и классицизма. По впечатлениям от поездок на Днепрострой и в Баку в 1930-е гг. создал ряд индустриальных пейзажей. Многое воспринял от своего учителя Куинджи - сочиненность и "картинность" пейзажа, вопреки господствовавшей в начале века этюдности, декоративность и неоромантический дух. Посетив в 1897 г. Францию, Германию и Австрию, воспринял неоимпрессионизм и модерн в немецком варианте. Произведения 1910-х гг. нередко отмечены чертами мистицизма и символизма, интересом к тайне древних неведомых культур. В 1920-е гг. пейзажи Богаевского, освобождаясь от нарочитой, иной раз слащавой сказочности, достигают особой выразительности пластических решений, образы ("Феодосия", 1926) героичны без нагнетания романтической атрибутики.В последущее десятилетие живописец много внимания уделяет проблеме пленэра, его пейзажи все более становятся просто изображениями Восточного Крыма, наполненные светом и воздухом. В эти годы Богаевский пытается реконструировать исторический облик Феодосии - Кафы прошедших столетий, в какой-то мере соприкасаясь с опытами А. М. Васнецова на материале Москвы.

Выставочная деятельность началась в 1897 году с участия в конкурсной выставке в ИАХ в Петербурге. В дальнейшем участвовал в весенних выставках ИАХ до 1904 года. Участник выставок: «Нового Общества Художников» (1905–1910); «Московского Товарищества Художников» (1908–1911); объединений «Мир Искусства» и «Союз Русских Художников» (1911–1914); общества художников «Жар Цвет» (с 1924); «Союза Советских Художников» (1931–1932). За границей принимал участие в выставках: в Мюнхене («Сецессион» 1903, 1905, 1907); в Париже на «Осенних Салонах», устраиваемых С. Дягилевым (1906, 1907) и у Бернгейма (1919); в Венеции на Международных выставках (1903, 1907, 1911, 1913, 1924, 1928); в Льеже (1905); в Лейпциге, Дрездене, Мальме и в Лондоне (с 1908 по 1912); в Нью-Йорке, Чикаго (1929); в Питтсбурге, Сан-Франциско (1934–1935).

Погиб 17 февраля 1943 года во время бомбардировки в Феодосии. Похоронен на Старом городском кладбище. 

Произведения художника находятся в ГТГ, ГРМ, ГМИИ им. А.С. Пушкина, во многих областных музеях России и Украины. В Феодосийском Музее, при галерее Айвазовского, имеется специальный зал, посвященный художнику, где собраны произведения, относящиеся к разным периодам его творчества.